Einzelposting: Besser durch Jesus Christus
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| >Anders gesagt, meines Verständnis nach enthalten die 'erweiterten' >logischen Systeme widerspruchsfrei die vorangegangenen Systeme. >Ganz so, wie die Algebra der rationalen Zahlen ebenfalls die der >natürlichen widerspruchsfrei enthält und selber im System der >imaginären Zahlen enthält ist. Wie Gödel zeigte, sind die alle hinreichend mächtigen formalen Systeme dergestalt, dass sie Widersprüche zulassen. Bedeutet beispielsweise du kannst innerhalb eines Systems (zum Beispiel der Zahlentheorie) einen Satz ableiten, nennen wir ihn 'x'. Er steht mit allen anderen Sätzen des Systems im Einklang, widerspricht also keinem. Allerdings kannst du auch die Verneinung des Satzes ableiten, also 'nicht x'. Auch dieser ist mit den anderen Sätzen im Einklang, aber natürlich stehen 'x' und 'nicht x' im Widerspruch. Es ist innerhalb des Systemes dann unentscheidbar, welcher stimmt. Das System ist 'unvollständig', weil es die Ableitung von Sätzen erlaubt, die sich widersprechen und keine Entscheidung möglich ist. Es gibt bereits Beispiele für solche Fälle - so kann der Zermelo- Fraenkel-Mengenlehre ein Satz, das 'Auswahlaxiom' hinzugefügt werden. Das System bleibt dann weiterhin widerspruchsfrei und kann angewandt werden (und wird ZFC, C für Choice, genannt). Allerdings kannst du auch die Verneinung des Auswahlaxioms zur ZF dazu nehmen, auch dann bleibt sie widerspruchsfrei. Es ist nicht entscheidbar, ob ZF mit oder ohne Auswahlaxiomnun richtig oder falsch ist. In allen formalen Systemen lassen sich solche Beispiele bilden (nur hat das ZFC bekannte Implikationen, zum Beispiel das Paradox von Banach und Tarski...) Überhaupt (und das hat mit dem vorigen jetzt nicht direkt zu tun) finde ich es immer furchtbar überholt, wenn Leute noch klassische Logik benutzen, wo doch deren Grundlagen, wie beispielsweise der 'Satz vom ausgeschlossenen Dritten' bereits experimentell (seit 100 Jahren!) widerlegt sind... --- Wer einmal etwas wirklich gutes und hochstehendes lesen möchte (^_^): Allvaters Wege http://animexx.onlinewelten.com/fanfiction/autor/14916/136116/334795/html/ |
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| Zuletzt geändert: 28.02.2012 13:36:35 | |||||||
